YUnhaiTAng,1QUanyingWU,1,* XIaoyiCHENNE2 UNDHAoZAUFHÄNGEN1,2
1Jiangsu Key Laboratory of Micro- und Nano -Wärmeflüssigkeitstechnologie und Energieanwendung, School of Mathematics and Physics, Suzhou Universität für Wissenschaft und Technologie, Suzhou, Jiangsu, 215009, China
2Graduiertenpraxisstation in Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, China
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Abstrakt: Wir schlagen eine numerische Methode für die Gestaltung eines progressiven Additionsobjektivs (PAL) vor, das im Vergleich zur Verwendung der analytischen Lösung der Laplace -Gleichung persönlichere Bedürfnisse erfüllen kann. In unserer Methode die Hilfsfunktionu(x, y) eines Kumpels wird durch die numerische Lösung der Laplace -Gleichung mit den Grenzen und den Verbindungsbedingungen erhalten. Die Randbedingung wird unter Verwendung des genetischen Algorithmus mit der Eingabe der individuellen Anforderung erhalten. Die Verbindungsbedingung wird unter Verwendung der Finite -Differenz -Methode mit einem glatteren bestimmtu(x, y) auf dem Meridian. Zwei Beispiele werden für den Freien angegeben und
Bürogebrauch. In beiden Fällen wird der Astigmatismusbereich in Richtung eines kleinen Bereichs in der Nähe der Linse gedrängt.
© 2017 Optische Gesellschaft von Amerika
OCIS -Codes:(220.0220) optisches Design und Herstellung; (080.0080) Geometrische Optik.
Referenzen und Links
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1. Einführung
Ein progressives Additionsobjektiv (PAL) bietet in unterschiedlichen Betrachtungsentfernungen ein nahtloses klares Sehen. Es gibt zwei Hauptkategorien von Methoden zum Entwerfen von Freunden. Man gehört zur direkten Methode. Zum Beispiel Winthropet al.. [1] beschrieb ein System, in dem die Designer die Brennleistung entlang des Nabelschnur -Meridians spezifizierten. Sowohl die Form des Restes der Linse als auch die Krümmungen der progressiven Oberfläche werden durch die Hilfsfunktion bestimmtu(x, y). Die Konturen der Hilfsfunktion aufx-y Ebene werden als Level -Kurven bezeichnet. Der
Die Hilfsfunktion wurde durch analytisches Lösen der Laplace -Gleichung erhalten. Steeleet al.. [2] spezifizierten die Fokuskraft über die gesamte Oberfläche unter Verwendung von Conics (als Hilfsfunktion) und erhielt die Oberflächenform des Kumpels durch Lösung einer elliptischen partiellen Differentialgleichung. Die andere Möglichkeit besteht darin, die PAL -Oberfläche indirekt zu bestimmen. Zum Beispiel Leuchtenet al.. [3], Wang
[4], Wei [5] entwickelte eine Bewertungsfunktion, die versucht, ein Gleichgewicht zwischen der gewünschten Verteilung der Fokuskraft und dem unerwünschten Astigmatismus zu erreichen. Die PAL -Oberfläche wurde erhalten, indem die Bewertungsfunktion numerisch minimiert wurde. In den direkten Methoden sind die Entwürfe der Meridian Focal Power und der Level -Kurven zwei wichtige Punkte. Vor kurzem wurde die Technik zur Suche nach der optimierten Brennstromverteilung auf der Meridian -Linie beschrieben [6,7]. Winthropet al.. und Steeleet al.. präsentierte die Analyseausdrücke für die Levelkurven [1,2]. Alle diese Methoden haben nur zwei oder drei Parameter, um die Levelkurven anzupassen. Daher ist ihre Fähigkeit, den persönlichen Bedarf an Sehkorrektur zu erfüllen, begrenzt.
Wir schlagen eine Methode vor, die im Vergleich zu den oben genannten Methoden mehr persönliche Bedürfnisse erfüllen kann. In unserem Ansatz werden die Levelkurven erhalten, indem die Laplace -Gleichung mit den Grenzen und den Verbindungsbedingungen, die von der individuellen Situation abhängen, numerisch lösen. Es besteht eine komplexe Beziehung zwischen der Randbedingung der Laplace -Gleichung und dem Astigmatismus. Die Randbedingung wird unter Verwendung des genetischen Algorithmus mit der Eingabe der personalisierten Anforderung erhalten. Um den Astigmatismus auf der Meridian -Linie zu minimieren, schlagen wir eine glattere Verbindungsbedingung unter Verwendung des Variationsprinzips und der endlichen Differenzmethode vor. Die Methode bietet Flexibilität und Effizienz für die Bestimmung einer individuellen Linse.
2.Design der Levelkurven für ein progressives Additionsobjektiv
Die Oberfläche eines Kumpels ist in vier Regionen unterteilt (Abb. 1). Die Entfernungsfläche 1 im oberen Teil der Linse hat eine relativ geringe Brennwertigkeit. Der Nahbereich 2 liegt 10-18 mm unterhalb der Entfernungsfläche und hat eine relativ hohe Brennleistung. Der progressive Korridor 3 verbindet die Entfernung und die Nähe von Bereichen. Die Astigmatismusbereiche 4 befinden sich links und rechts vom progressiven Korridor mit relativ schwerem Astigmatismus. Der Unterschied in der Brennleistung zwischen dem Referenzpunkt A im Abstandbereich und dem Referenzpunkt B im Nahbereich wird als Additionsleistung (ADD) des Kumpels angesehen. Der Entfernungsbereich in der Nähe von Flächen und progressiver Korridor werden als effektive Sichtregionen bezeichnet. Die Astigmatismusbereiche können nicht verwendet werden, um die Vision eines Trägers zu korrigieren.
Abb. 1. Vier Regionen eines Kumpels.
Der Ursprung O ist das Zentrum der Linse undx-y Die Ebene ist tangential zum Objektiv. Die X-Achse weist nach unten in Richtung einer zunehmenden Brennleistung auf. Derz-Axis zeigt aus dem Papier zum Leser. Die Meridian -Linie verbindet die Punkte A und B. Der Abstand zwischen Punkt A und B ist die Länge des progressiven Korridors.
Die direkte Entwurfsmethode ist in mehrere Schritte unterteilt. Der erste Schritt besteht darin, die Meridian Focal Power (entlang der Meridian -Linie) und die Hilfsfunktion zu entwerfenu(x, y). Die zweite
Schritt besteht darin, die Krümmung und die Krümmungszentren an jedem Punkt auf der PAL -Oberfläche zu bestimmen. Der letzte Schritt besteht darin, die Vektorhöhe zu erhaltenz(x, y) .
Die Brennleistungsverteilung sollte über der Oberfläche der Linse glatt sein, sodass die Hilfsfunktionu(x, y) muss reibungslos verteilen. Ein Kriterium für Glätte erfordert, dass die quadratische Summe der Teilableitungen ¶u / ¶x Und ¶u / ¶y ein Minimum sein, dh die
Dirichlet Integral ist minimal. Nach dem Variationsprinzip der Euler-Lagrange die Hilfsfunktionu(x, y) erfüllt die Laplace -Gleichung
Wir schlagen vor, Gl. (1) Verwendung der numerischen Technik. Die Randbedingung der Laplace -Gleichung wird unter Verwendung des genetischen Algorithmus optimiert, während die Verbindungsbedingung unter Verwendung der Finite -Differenz -Methode erhalten wird.
2.1 Die Randbedingung der Laplace -Gleichung
Der Kontrollpunktuk repräsentiert einen der Gitterpunkte an der Grenze der Rechendomäne ω und ist definiert als
Hierh hängt mit der Länge des progressiven Korridors zusammen,L ist der Abstand von Punkt A zum ursprünglichen Punkt O undpk ist der Kontrollparameter des genetischen Algorithmus, der von 0 bis 1 variiert.K ist die Anzahl der "Chromosomen" im genetischen Algorithmus. Die Sequenz aller "Chromosomen"h - L .
pk stellt einen Vektor als "Individuum" dar. Der Wert vonuk variiert von -L Zu
Die objektive Funktionf des genetischen Algorithmus erfüllt die Vorzüge des Vektors [7]
Hier ist F1 der maximale Astigmatismus des Kumpels. Der maximale Astigmatismus sollte die Anforderung f*=erfüllenr P - P , WoP UndP sind die Schwerpunkte an den Punkten A und B, 1A B A B Undr ist der Gewichtungsfaktor der zusätzlichen Leistung. Fi ( i = 2, 3L6) sind die Mittelwerte des Astigmatismus im Abstand, in der Nähe von Flächen und progressiver Korridor und zweiAstigmatismusbereiche. Fi ( i = 7, 8, 9) sind die mittleren Leistungswerte im Abstandbereich, in der Nähe von Flächen bzw. progressiver Korridor. F* sind die entsprechenden objektiven Werte. Fi Änderung der Schleife des genetischen Algorithmus zur Durchsuchung der optimierten GrenzeBedingungen.a1 ,...,a6 sind die entsprechenden Bereiche der Gewichtungsfaktoren des Astigmatismus.a7 ,a8 unda9 sind die entsprechenden Bereiche der Gewichtungsfaktoren der Brennleistungspflicht.r ( 0.75 £ r £ 1) undai ( 0.1 £ ai £ 2) sind relative Werte und durch die Präferenzen der Träger bestimmt. Für Aktivitäten im Freien ist ein weitläufiger Bereich erforderlich, sodass der Gewichtungsfaktora2 sollte größer sein alsa3. Für die Büroaktivitäten, eine kleinere Entfernungsfläche und eine größereIn der Nähe von Flächen werden also der Gewichtungsfaktor gesuchta3 sollte größer sein alsa2. In jedem Fall wollen wir, dass der Astigmatismus so wenig wie möglich ist, aber der Aufwand wird durch andere Nachfrage wie die Dimensionen der klaren Entfernung und in der Nähe von Regionen begrenzt. Tatsächlich ist es ein Kompromiss zwischen den Entfernungsgebieten, dem Nahbereich und dem Astigmatismus.
2.2 Die Verbindungsbedingung der Laplace -Gleichung
In der vorherigen Kunst [1] die Hilfsfunktionu(x, y) Auf der Meridian -Linie zwischen den Punkten A und B ist wie folgt
Um den Astigmatismus des Kumpels zu verringern, versuchen wir, die Brennkraft stabil zu halten
Jenseits von Punkt A und Punkt B auf der Meridian -Linie. Die Funktionu(x, 0) sollte sich mehr ändern
glatt. An Punkten A und B,u(x, 0) ist gleich zux, die Hänge sollten gleich Null sein,u(x, 0) sollte eine höhere Ordnung habenN der ersten nicht-vanierenden Differentialderivate. Auf der Meridian -Linie zwischen den Punkten A und B sind die absoluten Werte der Differentialderivate
Minimum, wenn die Bestellung kleiner ist alsN oder gleichN .
Wir minimieren die Summe des Quadrats der Derivate mit der Reihenfolge von 1 bis n
Der analytische Ausdruck vonu(x0) für das Minimum von Gl. (5) erfüllt die Euler-Poisson-Gleichung [8]
Aus Gl. (7) und Gl. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) in Gl. (10) werden erhalten. Dann die Hilfsfunktionu(x, 0) auf Meridian -Linie wird erhalten.
Weiter,ui, j an zwei Seiten der Meridian -Linie mit der Breited wird durch das endliche Differenzschema bestimmt [9]. Wir verwenden ein quadratisches Netz (xi , y j ) numerisch zu berechnenui, j .
Gegebenui, j = u(xi , y j ) Die zentrierte Finite -Differenz -Formel wird für das zweite Derivat verwendet
Hier äy ist die Schrittgröße. Angenommen die symmetrische Achse vonu(x, y) ist gleichui, j -1. Umordnen von Gl. (11) erhalten wir die Meridian -Linie,ui, j +1
(12) basierend auf der Laplace -Gleichung und fügen Sie einen Optimierungsfaktor hinzuau , wir erhaltenu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Dann die Werte vonui, j ± n n = 1, 2, 3 ... werden wiederum analogisiert. Die Werte vonu(x, y) zwischen den linken und rechten Grenzen des progressiven Korridors werden erhalten. Die Breite des progressiven Korridors und der Optimierungsfaktorenau sich nach verschiedenen persönlichen Bedürfnissen ändern.
Numerische Lösung der Laplace -GleichungDie Laplace -Gleichung mit den oben erhaltenen Grenze und Verbindungsbedingungen kann als ’¶ geschrieben werdeny2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Hier ist die Domäne ω ein Tangente für den Kumpel quadratische Region,BG die Grenze,DL der Link -Zustandsbereich, Zustand
f(xG , yG) den optimierten Randzustand undj(xL , yL )
Die Verbindung Die Laplace -Gleichung wird durch das endliche Differenzschema in eine Reihe von Differenzgleichungen geändert.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) hierg = Äx = Äy ist der Schritt und die Seitenlänge des Quadrats ω istmgmitm eine Ganzzahl.
Lineare Gl. (15) werden durch den aufeinanderfolgenden Ansatz der Deckrelaxation (SOR) gelöst [10]. Die SOR -Technik verwendet eine sich wiederholende Reihe von Sweeps über das Netz, um eine Lösung zu konvergieren. Die Konvergenzrate hängt vom Wert des Over -Relaxationsfaktors (ORF) ab, und ein bevorzugter Wert des ORF wird experimentell bestimmt. Ein wichtiger Vorteil der SOR -Technik besteht darin, dass sie die Konvergenz in einer Zeit proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Netzpunkte erreicht. Diese Funktion impliziert, dass zu bescheidenen Kosten in der Rechenzeit eine ausreichende Netzdichte implementiert werden kann, damit SOR in die Lösung konvergiert.
3. Beispiele und Diskussion
Wir wenden die vorgeschlagene Methode auf zwei Beispiele an, um zu demonstrieren, wie eine spezifische Verteilung der Fokuskraft und Astigmatismus eines Kumpels durch die entsprechenden Grenze- und Verbindungsbedingungen erreicht wird. Im ersten Beispiel verwendet der Träger den Kumpel für Aktivitäten im Freien. Daher ist ein weitläufiger Bereich erforderlich. Nach dem Rezept hat der Kumpel eine -2. 00 diopter fokale Kraft in der Entfernungsfläche und A + 2. 00 Diopter Addition -Power. Der Brechungsindex des Objektivmaterials beträgt 1,523. Die vordere Oberfläche des Kumpels ist eine kugelförmige Oberfläche mit + 2. 00 dioopter fokale Kraft. Die hintere Oberfläche ist eine progressive Additionsfläche mit -4. 00 diopter fokale Kraft im Entfernungsbereich und -2. 00 diopter fokale Kraft im Nahbereich. Die Werte vonh UndL sind 34 bzw. 17.
Um die Leistung der vorgeschlagenen Methode mit den vorherigen Analysemethoden zu vergleichen, wird eine progressive Oberfläche nach Winthrop -Methode berechnet. Die Lösung der Laplace -Gleichung ist ein analytischer Expression mit Parameternh , L , x Undy . Die Levelkurven sind
in Abb. 2 gezeigt.
Abb. 2. Die Pegelkurven, die durch analytisches Lösen der Laplace -Gleichung erhalten wurden.
Die Vektorhöhez(x, y) wird durch eine Reihe von Gleichungen erhalten. Basierend auf dem Elementar
Differentielle Geometrie, die Fokuskraft und der Astigmatismus der progressiven Oberfläche werden berechnet. Die Konturen von ihnen sind in Abb. 3 dargestellt. Die Länge des progressiven Korridors beträgt etwa 16 mm. Die Breite des klaren Sehvermögens (Astigmatismus<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm ist ungefähr 26 mm, was nicht breit genug für die Sicht im Freien ist.
Abb. 3..
Um einen größeren Entfernungsbereich zu erhalten, den Gewichtungsfaktorai der objektiven Funktion zur Bestimmung der Randbedingungen der Laplace -Gleichung wird wie in Tabelle 1 gezeigt ausgewählt. Die mit dem genetischen Algorithmus erhaltenen Randbedingungen sind in 4 und Fig. 5 dargestellt.
Abb. 4. Randbedingungen der linken und rechten Seite.
Abb. 5. Randbedingungen der Entfernung und in der Nähe der Zonen.
Durch die numerisch mit den Grenzen- und Verbindungsbedingungen löst die Laplace -Gleichung, die optimiertenu(x, y) wird erhalten. Die Konturen der optimierten
u(x, y) sind in Fig. 6 gezeigt.
Vergleichen Sie mit Abb. 2, der Bereich ist breiter, in dem der Wert vonu(x, y) Das ist kleiner als -14.
Abb. 6. Konturlinien der Optimierungu(x, y) im ersten Beispiel.
Einmalu(x, y) wird erhalten,z(x, y) kann mit den obigen Entwurfsschritten abgeleitet werden. Die Konturen der Fokuskraft und des Astigmatismus sind in Abb. 7 dargestellt. Die optische Leistung der progressiven Oberfläche ist in Tabelle 3 angegeben. Man kann sehen, dass der Abstandsbereich (Brennleistung<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm ist ungefähr 46 mm, was eher für die Sicht im Freien geeignet ist.
Abb. 7. Die Brennkraft (a) und Astigmatismus (b) der progressiven Oberfläche im ersten Beispiel.
Der Kumpel des ersten Beispiels wurde mit einer CNC -Gravur und einer Poliermaschine hergestellt. Die optischen Eigenschaften werden mit einem rotlex freien Form -Verifier (FFV) gemessen, um Brennleistung und Astigmatismus (oder Zylinder genannt) des Kumpels bereitzustellen. Die Konturen der getesteten Fokuskraft und des Astigmatismus sind in Abb. 8 dargestellt. Die optische Leistung des Kumpels ist in Tabelle 3 dargestellt. Es ist weniger als 0. 0 2 Diopter, dass die Differenz der Additionskraft zwischen der progressiven Oberfläche und dem hergestellten Kumpel. Die Abweichung des maximalen Astigmatismus beträgt weniger als 0,02 Diopter. Aufgrund des Einflusses der Krümmung der Vorderfläche ist die Breite in der Entfernungszone (Astigmatismus um 12 mm und 2 mm<0.5 diopter, x = -10 mm) und in der Nähe der Zone (Astigmatismus<0.5 diopter, x = 18 mm) des hergestellten Kumpels als die der progressiven Oberfläche.
Abb. 8. Die Fokuskraft (a) und Astigmatismus (b) des von FFV getesteten Kumpels.
Im zweiten Beispiel entsprechen die Grundparameter die gleichen wie die des ersten. Der Kumpel wird im Büro verwendet. Daher sind ein größerer Nahbereich und ein breiterer Korridor erforderlich. Die Breited wird auf 9 mm statt 6 mm eingestellt, wie im ersten Beispiel. Die auf der Notwendigkeit eines Nahverhaltens basierenden Gewichtungsfaktoren sind in Tabelle 2 dargestellt. Die mit dem genetischen Algorithmus erhaltenen Randbedingungen sind in Abb. 9 und Fig. 10 dargestellt.u(x, y) sind in Fig. 11 gezeigt.
Abb. 9. Randbedingungen der linken und rechten Seite.
Abb. 10. Randbedingungen der Entfernung und in der Nähe der Zonen.
Abb. 11. Konturlinien von optimiertu(x, y) im zweiten Beispiel.
Abbildung 12 zeigt die Konturen der Fokuskraft und des Astigmatismus des zweiten Beispiels. Tabelle 3 ist der optische Leistungsvergleich zwischen dem ersten und dem zweiten Beispiel. Die Breite des Entfernungsbereichs des ersten Beispiels ist 24 mm breiter als die des zweiten Beispiels beix = -10 mm. Die Breite des Nahbereichs des zweiten Beispiels ist 8 mm breiter als die des ersten Beispiels beix = 18 mm. Der maximale Astigmatismus des zweiten Beispiels ist kleiner als der des ersten Beispiels, und die Breite des Korridors ist breiter.
Abb. 12. Die Brennkraft (a) und Astigmatismus (b) der progressiven Oberfläche im zweiten Beispiel.
Tabelle 1 und Tabelle 2 sind die Gewichtungsfaktoren, die auf den unterschiedlichen Bedürfnissen des Trägers basieren. Die Parameter vonr Undai der Zielfunktion werden durch die Bedürfnisse und die Präferenz des Trägers bestimmt. Der Astigmatismus -Gewichtungsfaktora2 wird ausgewählt, ein größerer Wert für Outdoor -Aktivitäten. Größere Werte der Gewichtungsfaktorena3 , a4 , a5 unda6 werden für den Bürogebrauch ausgewählt.
4. Schluss
In dieser Studie haben wir einen neuartigen Entwurfsansatz entwickelt, der mehr Kontrolle über die Hilfsfunktion hat und somit eine individualisierte Sehkorrektur erfüllt. Um das Ziel zu erreichen, lösen wir die Laplace -Gleichung numerisch. Die Grenz- und Verbindungsbedingungen sollen bestimmte Anforderungen erfüllen. Infolgedessen kann ein spezifischer Bedarf an Abmessungen und Schwerpunkten der Entfernung und in der Nähe von Regionen in größerem Maße im PAL -Design erfüllt werden. Die Größen und Verteilungen der Astigmatismusbereiche werden ebenfalls mit unserem Ansatz verbessert. Die Beispiele zeigen die Fähigkeit unseres Ansatzes.
Finanzierung
National Natural Science Foundation in China (NSFC) (61378056); Natural Science Foundation der Hochschuleinrichtungen der Provinz Jiangsu (China) (17KJA140001); das PAPD -Programm der Provinz Jiangsu; Jiangsu Schlüsseldisziplinen des dreizehn Fünfjahresplans (20168765); Suzhou Key Laboratory für niedrige dimensionale optoelektronische Materialien und Geräte (SYG201611); Suzhou Key Industry Technology Innovation Plan (SYG201646); Das USTS Innovation Center.
Anerkennung
Die Autoren danken auch Professor Qian Lin von der Soochow University für wertvolle Ratschläge und Dr. Cao Zongjian von der Augusta University in den USA für redaktionelle Vorschläge.